Покажем, что указанную задачу можно свести к задаче математического программирования:
Предположим, что вектор задает вложения финансиста в ценные бумаги соответствующего типа, а величина вложения в ценные бумаги с гарантированной доходностью. Тогда доход финансиста представляет собой случайную величину:
Очевидно, что характеристики этой случайной величины зависят от решения финансиста, и что эта величина распределена по нормальному закону:
Чтобы перейти от задачи максимизации к задаче минимизации, запишем необходимую нам функцию распределения следующим образом:
Запишем функцию квантили уровня a для этой функции распределения:
При заданном уровне a нам требуется минимизировать эту функцию, тем самым, максимизируя искомый доход R .
Для этого заметим, что случайная величина (-R) распределена также по нормальному закону с параметрами . Тогда можно записать функцию распределения этой величины, используя функцию Лапласа:
Следовательно, можно заключить, что:
Обозначим квантиль уровня a , т.е. решение уравнения
Учитывая монотонность функции Лапласа, неравенство можно записать в следующем виде:
Отсюда можно легко получить выражение, дающее ключ к виду функции квантили:
Учитывая определение функции квантили:
получаем
Характеристики распределения случайной величины R выглядят следующим образом:
Таким образом, исходная задача сводится к следующей задаче математического программирования:
Покажем, как указанная задача математического программирования может быть сведена к задаче квадратичного программирования с параметром в правых частях ограничений:
Введем в рассмотрение параметр
Тогда задачу можно записать в следующем эквивалентном виде:
При каждом фиксированном значении параметра данная задача может быть сформулирована следующим образом:
Это задача квадратичного программирования с параметром в правой части ограничений. Решая эту задачу для каждого значения параметра получаем значения функции , а, следовательно, и значения искомой минимизируемой функции
Таким образом исходная задача сводится к последовательному решению двух задач - задачи квадратичного программирования с параметром в правой части ограничений и задаче одномерной оптимизации.
1. Бахшиян Б.Ц., Назиров Р.Р, Эльясберг П.Е. Определение и коррекция движения (гарантирующий подход) - М.: Наука, 1980.
2. Зангвилл У.И. Нелинейное программирование. Единый подход. - М.: Советское Радио, 1973.
3. Муртаф Б. Современное линейное программирование. - М.:Мир, 1984.
4. Пропой А.И., Ядыкин А.Б. Параметрическое квадратичное и линейное программирование. - Автоматика и телемеханика, 1978, т.12, NN 2,4.
5. Хедли Дж. Нелинейное и динамическое программирование. - М.: Мир, 1967.
6. Ядыкин А.Б. Параметрический метод в задачах квадратичного программирования с вырожденной квадратичной формой. - Журнал вычислительной математики и математической физики, 1975, т.8, N4.
7. Boot J. Quadratic Programming. - Amsterdam: North-Holland Publ. Co., 1964.
8. Van de Pann C. Methods for Linear and Quadratic Programming. - Amsterdam: North-Holland Publ. Co., 1975.
Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10
