В отличие от обычного трехмерного
пространства, где с помощью транспортира и линейки можно измерить угол между
векторами и длину вектора, в -мерном пространстве ни угол между
векторами, ни длину вектора измерить невозможно (как можно, например, измерить
длину многочлена или угол между многочленами?). Поэтому ортонормированным в -мерном
пространстве называется тот базис, в котором скалярное произведение вычисляется
по формуле (18.3).
Если ,
--
координатные столбцы векторов и , то скалярное произведение можно задать
формулой
Предоставляем читателю самостоятельно
убедиться в совпадении этой формулы с формулой (18.3)
Определение 18.5
Вещественное линейное пространство, в котором задано скалярное
произведение называется евклидовым пространством.
В трехмерном пространстве с помощью склярного
произведения определялся угол между векторами. В евклидовом пространстве тоже
можно определить угол между векторами. Но угол в -мерном пространстве не имеет
существенного значения, кроме одного случая. В трехмерном проcтранстве два
вектора ортогональны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение
равно нулю.
Определение 18.6
Два вектора евклидова пространства называются ортогональными, если их
скалярное произведение равно нулю.
Определение 18.7 Комплексное линейное пространство, в котором введено скалярное
произведение, называется унитарным пространством.
В унитарном пространстве модуль вектора и
условие ортогональности вводятся с помощью скалярного произведения так же, как
в евклидовом пространстве. В координатной записи
Гильбертово пространство, математическое понятие, обобщающее понятие евклидова пространства на
бесконечномерный случай. Возникло на рубеже 19 и 20 вв. в виде естественного
логического вывода из работ нем. математика Гильберта в
результате обобщения фактов и методов, относящихся к разложениям функций в
ортогональные ряды и к исследованию интегральных уравнений. Постепенно
развиваясь, понятие «Г. п.» находило все более широкие приложения в различных
разделах математики и теоретической физики; оно принадлежит к числу важнейших
понятии математики.
Первоначально Г. п. понималось как
пространство последовательностей со сходящимся рядом квадратов (т.н.
пространство l2). Элементами (векторами) такого пространства
являются бесконечные числовые последовательности
x = (x1, x2,...,
xn,...)
такие, что ряд x21
+ x22 +... + х2n + ...сходится.
Сумму двух векторов х + y и вектор lx, где l —
действительное число, определяют естественным образом:
x + y = (x1
+ y1,..., xn + yn,...),
lx = (lx1, lx2, ..., lxn,...)/
Для любых векторов х, y Î l2
формула
(x, y) = x1y1
+ x2y2 + ... +xnyn + ...
определяет их скалярное произведение, а
под длиной (нормой) вектора х понимается неотрицательное число
Скалярное произведение всегда конечно и
удовлетворяет неравенству |(х, у)| £ ||x|| ||y||.
Последовательность векторов хn называется сходящейся к вектору х,
если ||хn—х|| ® 0 при n ® ¥. Многие определения и
факты теории конечномерных евклидовых пространств переносятся и на Г. п.
Например, формула
где 0 £ j £ p
определяет угол j между векторами х и у. Два вектора х
и у называются ортогональными, если (х, у) = 0. Пространство l2
полно: всякая фундаментальная последовательность Коши элементов этого
пространства (т.е. последовательность хn, удовлетворяющая
условию ||хп—хm||® 0 при n, m ® ¥)
имеет предел. В отличие от евклидовых пространств, Г. п. l2
бесконечномерно, т.е. в нём существуют бесконечные системы линейно независимых
векторов; например, такую систему образуют единичные векторы
e1 = (1, 0, 0,...), e2
= (0, 1, 0,...),...
При этом для любого вектора x из
l2 имеет место разложение
x = x1e1 + x2e2
+... (1)
по системе {en}.
Операторы (общие понятия). Функционалы. Пусть X, Y — линейные пространства; отображение A:
X ® Y называется линейным, если для x, у Î X,
l, m Î ,
где x1,..., xn
и (Ax)1,..., (Ax) n — координаты
векторов x и Ax соответственно. При переходе к бесконечномерным
линейным топологическим пространствам положение значительно усложняется. Здесь
прежде всего необходимо различать непрерывные и разрывные линейные операторы
(для конечномерных пространств они всегда непрерывны). Так, действующий из
пространства L2 (а, b) в него же оператор
(где K (t, s) —
ограниченная функция — ядро А) — непрерывен, в то время как определённый
на подпространстве C1(a, b) Ì L2(a,
b) оператор дифференцирования